Вернуться к содержанию учебника
Известно, что \(a^2\), \(b^2\), \(a - b\) — рациональные числа и \(a \ne b\). Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма \(a + b\)?
Вспомните:
\(a^2\), \(b^2\), \(a - b\in \mathbb{Q}\), и \(a \ne b\).
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
\( a^2 - b^2\) - рациональное число, так как \(a^2\) и \(b^2\) - рациональные числа, значит, и \((a - b)(a + b)\) — рациональное число.
\( a + b = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \)
\(\frac{a^2 - b^2}{a - b}\) - рациональное число, поэтому и \(a+b\) - рациональное число.
Ответ: сумма \(a + b\) является рациональным числом.
Пояснения:
Используем формулу разности квадратов:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Если два множителя дают рациональное число и один из них (в данном случае \(a - b\)) тоже рациональный и не равен нулю, то второй множитель (\(a + b\)) должен быть рациональным.
Таким образом, из рациональности выражений \(a^2\), \(b^2\) и \(a - b\) следует рациональность суммы \(a + b\).
Вернуться к содержанию учебника