Упражнение 263 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 62

1. Область определения:

а) \(x - 9 \neq 0\;\Longrightarrow\; x \neq 9.\)

б) \(3x + 9 = 3(x + 3)\neq 0\;\Longrightarrow\; x \neq -3.\)

2. Разбиение на случаи (модуль):

а) \(\lvert 2x - 18\rvert = 2\lvert x - 9\rvert\). Тогда

— при \(x > 9\): \(\lvert x - 9\rvert = x - 9\),

\[y = \frac{2(x - 9)}{x - 9} = 2.\]

— при \(x < 9\): \(\lvert x - 9\rvert = 9 - x\),

\[y = \frac{2(9 - x)}{x - 9} = \frac{-2(x - 9)}{x - 9} = -2.\]

б) \(\lvert x + 3\rvert/(3(x+3)) = \tfrac{1}{3}\,\dfrac{\lvert x+3\rvert}{x+3}.\) Тогда

— при \(x > -3\): \(\lvert x+3\rvert = x+3\),

\[y = \tfrac{1}{3}\cdot 1 = \tfrac{1}{3}.\]

— при \(x < -3\): \(\lvert x+3\rvert = -(x+3)\),

\[y = \tfrac{1}{3}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{3}.\]

3. Итого функции задаются константами на двух интервалах:

а) \(y = \begin{cases} -2, & x < 9,\\ 2, & x > 9, \end{cases}\quad x \neq 9.\)

б) \(y = \begin{cases} -\,\tfrac{1}{3}, & x < -3,\\ \tfrac{1}{3}, & x > -3, \end{cases}\quad x \neq -3.\)

4. Графики:

– На каждом интервале прямая горизонтальная линия \(y=\text{const}\).

– В точках \(x=9\) и \(x=-3\) имеются «дырки» (точки разрыва).

– Асимптот нет (кроме разрывов), горизонтальные линии не зависят от \(\,x\).

Пояснения:

1. Свойства модуля:

\[ \lvert a\rvert = \begin{cases} a, & a\ge0,\\ -\,a, & a<0. \end{cases} \]

2. Сокращение множителей:

В пункте а) фактор \(x-9\) в числителе и знаменателе сокращается после учёта знака из модуля.

В пункте б) вынесено \(3\) из знаменателя, затем сокращено \(\lvert x+3\rvert/(x+3)\).

3. Тип графика:

Функции постоянны на двух полуинтервалах и имеют разрыв в точке, где под модулем и знаменателем выражение обнуляется.

График — две точки на горизонтальных уровнях \(y=-2\) и \(y=2\) для (а), и \(y=-\tfrac{1}{3}\) и \(y=\tfrac{1}{3}\) для (б), без соединения через точку разрыва.