Вернуться к содержанию учебника
Могут ли графики функций
\[y = \frac{k}{x}\quad(k\neq0)\]
и
\[y = ax + b\]
пересекаться:
а) только в одной точке;
б) только в двух точках;
в) в трёх точках?
Введите текст
Для нахождения точек пересечения решим уравнение
\[\frac{k}{x} = ax + b,\quad x\neq0.\]
Домножим на \(x\):
\[ax^2 + bx - k = 0.\]
Это квадратное уравнение, его дискриминант
\[D = b^2 + 4ak.\]
а) Пересечение в одной точке возможно, если
\[D = 0,\]
то есть прямая касательна к гиперболе.
Кроме того, если \(a=0\) (прямая горизонтальна \(y=b\)) и \(b\neq0\), то
\[ \frac{k}{x} = b\;\Longrightarrow\;x=\frac{k}{b}\]
даёт единственное решение.
б) Пересечение в двух точках происходит, если
\[D > 0,\]
тогда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
в) Пересечение в трёх точках невозможно, поскольку
квадратное уравнение не может иметь более двух корней.
Пояснения:
1. Переход к квадратному уравнению:
Приравнивание \(\frac{k}{x}\) и \(ax+b\) и домножение на \(x\neq0\) дают уравнение второй степени.
2. Дискриминант и число решений:
Формула для дискриминанта:
\[D = B^2 - 4AC\] где \(A=a\), \(B=b\), \(C=-k\). Здесь
\[D = b^2 - 4\cdot a\cdot(-k) = b^2 + 4ak.\]
Если \(D>0\), два пересечения; \(D=0\), одно (касательная); \(D<0\), нет пересечений.
3. Частный случай горизонтальной прямой:
Когда \(a=0\), прямая \(y=b\) пересекает гиперболу в одной точке, если \(b\neq0\).
Если \(b=0\), прямая проходит через полюс гиперболы (нет общих точек на графике).
4. Максимальное число пересечений:
Квадратное уравнение даёт не более двух корней, поэтому три пересечения не возможны.
Вернуться к содержанию учебника