Упражнение 261 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 62

1. Область определения:

\[x^2+2x = x(x+2)\neq 0 \;\;\implies\;\; x\neq 0,\,-2.\]

2. Упрощение функции (для \(x\neq 0,-2\)):

\[\frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1}{x},\]

\[y = -4 - \frac{1}{x}.\]

3. Асимптоты и особенности:

Вертикальные: \(x=0\) (непреодолимый разрыв) и \(x=-2\) (устранимая точка — «дырка»).

Горизонтальная: \(\displaystyle y \to -4\) при \(x\to \pm\infty\).

4. Пересечение с \(y=m\):

Решаем

\[m = -4 - \frac{1}{x} \;\;\Longrightarrow\;\; -\frac{1}{x} = m+4 \;\;\Longrightarrow\;\; x = -\frac{1}{m+4}.\]

Чтобы точка \(\bigl(x,\,m\bigr)\) принадлежала графику, нужно \(x\neq 0,-2\). Рассмотрим два случая:

– Если \(m+4=0\), то \(x\) не определено → пересечений нет.

– Если \(m+4\neq 0\), то формула даёт \(x=-\frac{1}{m+4}\). Проверим, не даёт ли она исключённые значения:

\(-\frac{1}{m+4}=-2 \;\Longrightarrow\; m+4 = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; m=-\tfrac72.\)

При \(m=-\tfrac72\) единственный «решающий» \(x=-2\) не входит в область определения → пересечений нет.

Итак, пересечений нет при

\[m = -4 \quad\text{и}\quad m = -\tfrac72.\]

Пояснения:

1. Упрощение дроби:

Использована разложение на множители:

\[x^2+2x = x(x+2),\]

и сокращение одинаковых множителей.

2. Особые точки:

При \(x=0\) знаменатель обращается в ноль — вертикальная асимптота.

При \(x=-2\) дробь изначально неопределена, но после сокращения получается устранимая точка (график имеет «дырку» в \((-2,\,-3{,}5)\)).

3. Асимптоты:

Горизонтальная асимптота определяется пределом \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}y = -4\).

4. Поиск несоответствующих \(m\):

Прямая \(y=m\) пересекает гиперболу \(y=-4-\tfrac1x\), если уравнение даёт допустимый \(x\). Два исключения:

– \(m=-4\), тогда уравнение не имеет решения.

– \(m=-\tfrac72\), тогда формальный корень \(x=-2\) оказывается вне области определения.

На графике видно, что прямые \(y=-4\) (горизонтальная асимптота) и \(y=-\tfrac72\) проходят через места разрывов и не пересекают действующую часть кривой.