Упражнение 262 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 62

Область определения для всех функций: \(x\neq0\).

Для \(x>0\): \(|x|=x\), значит

– а) \(y=\frac{4}{x}\),

– б) \(y=\frac{2{,}4}{x}\),

– в) \(y=\frac{1}{x}\),

– г) \(y=-\frac{1}{x}\),

– д) \(y=-\frac{6}{x}\),

– е) \(y=-\frac{3{,}6}{x}\).

Для \(x<0\): \(|x|=-x\), значит

– а) \(y=\frac{4}{-x}=-\frac{4}{x}\),

– б) \(y=-\frac{2{,}4}{x}\),

– в) \(y=-\frac{1}{x}\),

– г) \(y=\frac{1}{x}\),

– д) \(y=\frac{6}{x}\),

– е) \(y=\frac{3{,}6}{x}\).

Графики всех функций представляют собой две ветви гиперболы с асимптотами по осям \(Ox\) и \(Oy\). Коэффициент в числителе растягивает или сжимает график вдоль оси \(Oy\), знак определяет, располагаются ли ветви в верхней (\(y>0\)) или нижней (\(y<0\)) полуплоскости.

Пояснения:

1. Модуль функции:

\[\displaystyle |x| = \begin{cases} x, & x>0,\\ -\,x, & x<0. \end{cases}\]

Поэтому дробь \(\frac{k}{|x|}\) задаёт разные правила для \(x>0\) и \(x<0\).

2. Асимптоты:

– Вертикальная асимптота: \(x=0\) (область определения);

– Горизонтальная асимптота: \(y=0\) при \(|x|\to\infty\).

3. Масштаб и знак коэффициента:

Коэффициент \(k\) в числителе влияет на «высоту» гиперболы: при \(k>1\) график «выше», при \(0

4. Симметрия:

Функции \(\dfrac{k}{|x|}\) чётны по \(x\): график симметричен относительно оси \(Oy\), но знак зависимости от \(k\) задаёт, в какой полуплоскости находятся ветви.