Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(k\) и \(b\) гипербола \(y=\dfrac{k}{x}\) и прямая \(y=kx+b\) проходят через точку:
а) \(P(2;1)\); б) \(Q(-2;3)\); в) \(R(-1;1)\)?
Введите текст
Для каждой точки \((x_0,y_0)\) составляем систему:
\[y_0 = \frac{k}{x_0},\qquad y_0 = kx_0 + b.\]
а) Для \(P(2;1)\):
\[1 = \frac{k}{2}\;\Longrightarrow\;k = 2.\]
\[1 = 2\cdot2 + b\;\Longrightarrow\;1 = 4 + b,\;\;b = -3.\]
Ответ: \(k = 2,\;b = -3\).
б) Для \(Q(-2;3)\):
\[3 = \frac{k}{-2}\;\Longrightarrow\;k = -6.\]
\[3 = -6\cdot(-2) + b\;\Longrightarrow\;3 = 12 + b,\;\;b = -9.\]
Ответ: \(k = -6,\;b = -9\).
в) Для \(R(-1;1)\):
\[1 = \frac{k}{-1}\;\Longrightarrow\;k = -1.\]
\[1 = -1\cdot(-1) + b\;\Longrightarrow\;1 = 1 + b,\;\;b = 0.\]
Ответ: \(k = -1,\;b = 0\).
Пояснения:
1. Составление системы:
Требуется, чтобы точка \((x_0,y_0)\) одновременно лежала на гиперболе и на прямой, значит
\[y_0 = \frac{k}{x_0}\quad\text{и}\quad y_0 = kx_0 + b.\]
2. Выражение \(k\):
Из первого уравнения \(k = x_0\,y_0\).
3. Выражение \(b\):
Подставив найденное \(k\) во второе: \(b = y_0 - kx_0\).
4. Итог:
Для каждой точки значения \(k\) и \(b\) находятся по формулам выше и подставляются в ответы.
Вернуться к содержанию учебника