Вернуться к содержанию учебника
Могут ли графики функций
\[y = \frac{k}{x}\quad(k\neq 0)\]
и
\[y = a x + b\]
пересекаться в двух точках, лежащих:
а) в одной четверти;
б) в первой и во второй четвертях;
в) в первой и в третьей четвертях?
Введите текст
Точки пересечения удовлетворяют уравнению
\[\frac{k}{x} = a x + b,\quad x\neq0\;\Longrightarrow\;a x^2 + b x - k = 0.\]
Обозначим корни этого квадратного уравнения через \(x_1\) и \(x_2\). Тогда точки пересечения:
\(\displaystyle P_i\bigl(x_i,\;y_i\bigr)\), где \(y_i = \dfrac{k}{x_i}\), \(i=1,2\).
— a) В одной четверти: требуется, чтобы оба \(x_i\) имели один знак, и при этом \(y_i\) имели тот же (или обратный) знак так, чтобы точки лежали в одной из четырёх: - Для \(x_i>0\) и \(k>0\) обе точки в I четверти. - Для \(x_i<0\) и \(k>0\) — обе в III четверти. - Для \(x_i>0\) и \(k<0\) — обе в IV четверти. - Для \(x_i<0\) и \(k<0\) — обе в II четверти. Наличие двух корней одного знака возможно при \(D = b^2 + 4ak > 0\) и совпадающем знаке \(x_1\) и \(x_2\). Ответ: да, если дискриминант положителен и корни одного знака.
— б) В I и II четвертях: I четверть ↔ \(x>0,\;y>0\) ↔ \(k>0\). II четверть ↔ \(x<0,\;y>0\) ↔ \(k<0\). Получаем противоречие на знаке \(k\). Ответ: нет.
— в) В I и III четвертях: I четверть ↔ \(x>0,\;y>0\) ↔ \(k>0\). III четверть ↔ \(x<0,\;y<0\) ↔ \(k>0\). Значит достаточно \(k>0\), \(D>0\) и корни противоположных знаков. Ответ: да.
Пояснения:
1. Переход к квадратному уравнению: Приравнивание гиперболы и прямой даёт \(k/x = ax+b\). Домножение на \(x\neq0\) приводит к \(ax^2 + bx - k=0\).
2. Знаки координат в четвертях:
\[ \begin{aligned} \text{I четверть: }& x>0,\ y>0;\\ \text{II четверть: }& x<0,\ y>0;\\ \text{III четверть: }& x<0,\ y<0;\\ \text{IV четверть: }& x>0,\ y<0. \end{aligned} \]
Поскольку \(y_i = k/x_i\), знак \(y_i\) = знак \(k\)\(\times\)знак \(x_i\).
3. Дискриминант: \[ D = b^2 - 4\cdot a\cdot(-k) = b^2 + 4ak. \] Пересечение в двух точках ↔ \(D>0\).
4. Условия для каждой части:
– В одной четверти: оба \(x_i\) одного знака (корни одного знака) и выбирается подходящий знак \(k\).
– В первой и второй: требуется одновременно \(k>0\) и \(k<0\) — невозможно.
– В первой и третьей: при \(k>0\) и корнях разных знаков.
Вернуться к содержанию учебника