Упражнение 256 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 62

По условию \(z\) — среднее гармоническое чисел \(a\) и \(b\), значит

\[ z = \frac{2}{\frac1a + \frac1b} = \frac{2ab}{a+b}. \]

Найдём \(z - a\) и \(z - b\):

\[ z - a = \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2}{a+b} = \frac{a(b - a)}{a+b} = -\frac{a(a - b)}{a+b}, \]

\[ z - b = \frac{2ab}{a+b} - b = \frac{2ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a - b)}{a+b}. \]

Тогда

\[ \frac{1}{z - a} = \frac{1}{-\dfrac{a(a - b)}{a+b}} = -\,\frac{a+b}{a(a - b)}, \] \[ \frac{1}{z - b} = \frac{1}{\dfrac{b(a - b)}{a+b}} = \frac{a+b}{b(a - b)}. \]

Складываем:

\[ \frac{1}{z - a} + \frac{1}{z - b} = -\frac{a+b}{a(a - b)} + \frac{a+b}{b(a - b)} = \frac{a+b}{a - b}\Bigl(-\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\Bigr) = \frac{a+b}{a - b}\;\frac{-b + a}{ab} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. \]

Пояснения:

— Среднее гармоническое двух чисел \(a,b\): \(\;z = \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b} = \dfrac{2ab}{a+b}\).

— Преобразования разности дробей с общим знаменателем:

\(\displaystyle \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b}\).

— Сокращение знака при вынесении минуса: \(\;b - a = -(a - b)\).

— Сумма дробей с общим множителем \(\;(a+b)/(a-b)\) и раскладывание на сумму: \(-\frac1a +\frac1b = \frac{-b+a}{ab}\).

Благодаря этим преобразованиям получаем тождество.