Вернуться к содержанию учебника
Найдите значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{a^2 - 43}{a - 6} + \frac{7}{a - 6}\) при \(a = 10{,}25\);
б) \(\displaystyle \frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9}\) при \(b = 3{,}5\).
Вспомните:
а) \( \frac{a^2 - 43}{a - 6} + \frac{7}{a - 6} =\)
\(=\frac{a^2 - 43 + 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 36}{a - 6} =\)
\(=\frac{\cancel{(a - 6)}(a + 6)}{\cancel{a - 6}} = a + 6. \)
Если \(a = 10{,}25\), то
\( 10{,}25 + 6 = 16{,}25. \)
б) \( \frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} =\)
\(=\frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9} =\)
\(=\frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}= \)
\(=\frac{3\cancel{(b + 3)}}{(b - 3)\cancel{(b + 3)}} = \frac{3}{b - 3}. \)
Если \(b = 3{,}5\), то
\[ \frac{3}{3{,}5 - 3} = \frac{3}{0{,}5} =\frac{30}{5} = 6. \]
Пояснения:
1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.
3. При необходимости дробь сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.
— в пункте а):
\(a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)\), что дает общий множитель \(a-6\) в числителе и знаменателе.
— в пункте б):
\(3b + 9 = 3(b + 3)\) и
\(b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)\), что дает общий множитель \(b+3\) в числителе и знаменателе.
4. После сокращения получаем простые выражения, в которые подставляем заданные значения переменных и выполняем вычисления.
Вернуться к содержанию учебника