Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}\);
б) \(\displaystyle \frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}\);
в) \(\displaystyle \frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}\);
г) \(\displaystyle \frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}\);
д) \(\displaystyle \frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}\);
е) \(\displaystyle \frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} + \frac{6xy}{3y - x}\).
Вспомните:
а) \( \frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y} = \)
\(=\frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1} = \frac{x - 5}{y-1}. \)
б) \( \frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c} =\)
\(=\frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3} = \frac{a + 6}{c-3}. \)
в) \( \frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m} =\)
\(=\frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} =\)
\(=\frac{2m - 2n}{m-n} = \frac{2\cancel{(m-n)}}{\cancel{m-n}} = 2. \)
г) \( \frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q} =\)
\(=\frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p} =\)
\(=\frac{5p - 10q}{2q-p} = \frac{-5\cancel{(2q-p)}}{\cancel{2q-p}} = -5. \)
д) \( \frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} =\)
\(=\frac{a^2 + 16}{a-4} - \frac{8a}{a-4} = \)
\(=\frac{a^2 + 16 - 8a}{a-4} =\frac{a^2 - 8a + 16}{a-4} =\)
\(=\frac{(a-4)^{\cancel{2}}}{\cancel{a-4}} =a-4. \)
е) \( \frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} + \frac{6xy}{3y - x} =\)
\(=\frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} - \frac{6xy}{x - 3y} =\)
\(=\frac{x^2 + 9y^2 - 6xy}{x - 3y} =\frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x - 3y} =\)
\(=\frac{(x-3y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x-3y}} = x - 3y. \)
Пояснения:
1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :
\(a-b=-(b-a)\).
а) \(1-y=-(y-1)\).
б) \(3-c=-(c-3)\).
в) \(n-m=-(m-n)\).
г) \(p-2q=-(2q-p)\).
д) \(4-a=-(a-4)\).
е) \(3y-x=-(x-3y)\).
2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)
где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.
3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
4) ) Затем, если возможно, числитель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ax+bx=(a+b)x\);
- квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника