Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при всех допустимых значениях \(x\) значение выражения не зависит от \(x\):
а) \(\displaystyle \frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x};\)
б) \(\displaystyle \frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}.\)
Вспомните:
а) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} =\)
\(=\frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \)
\(=\frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1} =\)
\(=\frac{3x+5-7x-3}{2x-1} =\)
\(=\frac{-4x+2}{2x-1} = \frac{-2\cancel{(2x-1)}}{\cancel{2x-1}} = -2 \) - не зависит от \(x\).
б) \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} =\)
\(=\frac{5x+1}{5x-20} - \frac{x+17}{5x-20} =\)
\(=\frac{(5x+1)-(x+17)}{5x-20} =\)
\(=\frac{5x+1-x-17}{5x-20} =\)
\(=\frac{4x-16}{5x-20} = \frac{4\cancel{(x-4)}}{5\cancel{(x-4)}} = \frac{4}{5} \) - не зависит от \(x\).
Пояснения:
1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :
\(a-b=-(b-a)\).
а) \(1-2x = -(2x-1)\).
б) \(20-5x = -\,(5x-20)\).
2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)
где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.
3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
4) ) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя вынесение общего множителя за скобки:
\(ax+bx=(a+b)x\).
5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
6) Полученные дроби сводятся к числам \(-2\) и \(\frac{4}{5}\), не зависящим от \(x\).
Вернуться к содержанию учебника