Упражнение 244 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 60

Обозначим выражение через \(E\):

\[ E = \frac{2}{\,mn\bigl(\tfrac1m-\tfrac1n\bigr)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}. \]

1) Вычислим знаменатель первой дроби:

\[ mn\bigl(\tfrac1m-\tfrac1n\bigr)^2 =mn\cdot\frac{(n-m)^2}{m^2n^2} =\frac{(n-m)^2}{mn}. \]

2) Тогда

\[ \frac{2}{\,mn\bigl(\tfrac1m-\tfrac1n\bigr)^2} =2 \;\bigg/\;\frac{(n-m)^2}{mn} =2\cdot\frac{mn}{(n-m)^2} =\frac{2mn}{(m-n)^2}. \]

3) Подставляем в \(E\):

\[ E=\frac{2mn}{(m-n)^2}-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\frac{2mn-(m^2+n^2)}{(m-n)^2} =\frac{-(m^2-2mn+n^2)}{(m-n)^2} =-\frac{(m-n)^2}{(m-n)^2} =-1. \]

Следовательно, \(E\equiv -1\) при любых допустимых \(m\) и \(n\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Свойство разности дробей: \(\tfrac1m-\tfrac1n=\tfrac{n-m}{mn}\).

— Свойство квадрата разности: \(\bigl(\tfrac{n-m}{mn}\bigr)^2=\tfrac{(n-m)^2}{m^2n^2}.\)

— Деление на дробь равно умножению на обратную: \(A\div\frac BC = A\cdot\frac CB.\)

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

Каждый шаг проводился последовательно:

1. Перевели разность дробей в одну дробь и возвели в квадрат.

2. Преобразовали деление на дробь в умножение на её обратную.

3. Сгруппировали разности в числителе итоговой дроби и сократили \((m-n)^2\).

В результате получили постоянное значение \(-1\), не зависящее от \(m\) и \(n\).