Вернуться к содержанию учебника
Найдите такие значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется тождество:
а) \[\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3};\]
б) \[\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2}.\]
Введите текст
а) Общий знаменатель \((x-2)(x+3)\): \[\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\]
Приравниваем числители: \[a(x+3)+b(x-2)=5x.\]
Раскрытие: \[(a+b)x + (3a-2b) = 5x + 0.\]
Составляем систему: \[\begin{cases} a+b=5,\\ 3a-2b=0. \end{cases}\] Решение: \(a=2,\;b=3\).
б) Общий знаменатель \((x-5)(x+2)\): \[\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\]
Приравниваем числители: \[a(x+2)-b(x-5)=5x+31.\]
Раскрытие: \[(a-b)x + (2a+5b) = 5x + 31.\]
Составляем систему: \[\begin{cases} a-b=5,\\ 2a+5b=31. \end{cases}\] Решение: \(a=8,\;b=3\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Разложение рациональной функции на простейшие дроби с линейными множителями в знаменателе.
– Приведение суммы простейших дробей к общему знаменателю и приравнивание соответствующих числителей.
– Составление и решение системы линейных уравнений по коэффициентам при \(x\) и свободному члену.
Вернуться к содержанию учебника