Вернуться к содержанию учебника
При каком значении \(a\) тождественно равны выражения:
а) \(\displaystyle\frac{2x}{x+3}\) и \(\displaystyle2+\frac{a}{x+3}\);
б) \(\displaystyle\frac{x}{x-5}\) и \(\displaystyle1+\frac{a}{x-5}\);
в) \(\displaystyle\frac{2x}{3-x}\) и \(\displaystyle\frac{a}{3-x}-2\);
г) \(\displaystyle\frac{x+2}{5-x}\) и \(\displaystyle\frac{a}{5-x}-1\).
Введите текст
а) Приведём \(2+\frac{a}{x+3}\) к дроби со знаменателем \(x+3\): \(\displaystyle2+\frac{a}{x+3}=\frac{2(x+3)+a}{x+3}=\frac{2x+6+a}{x+3}.\) Требуется \(\frac{2x+6+a}{x+3}\equiv\frac{2x}{x+3}\), значит \(2x+6+a=2x\) при всех \(x\). Получаем \(a+6=0\), то есть \(\boxed{a=-6}.\)
б) Приведём \(1+\frac{a}{x-5}\) к общему знаменателю \(x-5\): \(\displaystyle1+\frac{a}{x-5}=\frac{x-5+a}{x-5}.\) Сравниваем с \(\frac{x}{x-5}\): \(x-5+a = x\) при всех \(x\). Откуда \(a-5=0\), то есть \(\boxed{a=5}.\)
в) Приведём \(\frac{a}{3-x}-2\) к знаменателю \(3-x\): \(\displaystyle\frac{a}{3-x}-2=\frac{a-2(3-x)}{3-x}=\frac{a-6+2x}{3-x}.\) Чтобы это равнялось \(\frac{2x}{3-x}\) при всех \(x\), нужно \(a-6+2x = 2x\). Значит \(a-6=0\), то есть \(\boxed{a=6}.\)
г) Приведём \(\frac{a}{5-x}-1\) к знаменателю \(5-x\): \(\displaystyle\frac{a}{5-x}-1=\frac{a-(5-x)}{5-x}=\frac{a-5+x}{5-x}.\) Сравнивая с \(\frac{x+2}{5-x}\), получаем \(a-5+x = x+2\) при всех \(x\). Значит \(a-5=2\), то есть \(\boxed{a=7}.\)
Пояснения:
– Для тождественного равенства дробных выражений достаточно привести их к общему знаменателю и равнять числители.
– Поскольку знаменатели не зависят от \(a\), мы уравниваем числители как многочлены от \(x\).
– Полученные уравнения не содержат \(x\), что гарантирует тождественное равенство при найденных значениях \(a\).
Вернуться к содержанию учебника