Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при любом значении \(x\), большем 2, значение выражения
\[ \biggl(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2\biggr) : \frac{x+1}{x+3} \;-\; \frac{x^2 - 5x + 3}{2x} \]
является отрицательным числом.
Введите текст
\[ \frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2 = \frac{(x+1)(x+3) + 8x - 4x(x+3)}{2x(x+3)} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}. \]
\[ \frac{\displaystyle\frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}}{\displaystyle\frac{x+1}{x+3}} = -\frac{3(x-1)}{2x}. \]
\[ -\frac{3(x-1)}{2x} \;-\; \frac{x^2-5x+3}{2x} = -\frac{3(x-1) + x^2 - 5x + 3}{2x} = -\frac{x(x-2)}{2x} = -\frac{x-2}{2}. \]
При \(x>2\) число \(\displaystyle -\frac{x-2}{2}\) отрицательно.
Пояснения:
Правила и приёмы:
— Преобразование суммы дробей к общему знаменателю.
— Свойство разности дробей: \(\displaystyle \frac1m - \frac1n = \frac{n-m}{mn}.\)
— Деление на дробь: \(\displaystyle A : \frac{B}{C} = A\cdot\frac{C}{B}.\)
— Сокращение одинаковых множителей в дроби.
1. Привели \(\frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2\) к общему знаменателю \(2x(x+3)\), получили дробь \(\frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}\).
2. Разделили на \(\frac{x+1}{x+3}\), умножив на её обратную, и сократили \((x+1)\) и \((x+3)\), получили \(-\frac{3(x-1)}{2x}\).
3. Затем вычли \(\frac{x^2-5x+3}{2x}\), объединив дроби с общим знаменателем \(2x\), и упростили числитель до \(-x(x-2)\), что после сокращения по \(x\) даёт \(-\frac{x-2}{2}\).
Поскольку при \(x>2\) число \(x-2\) положительно, выражение \(-\frac{x-2}{2}\) отрицательно, что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника