Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle\bigl(x - \frac{4xy}{x+y} + y\bigr)\;\cdot\;\bigl(x + \frac{4xy}{x-y} - y\bigr);\)
б) \(\displaystyle\Bigl(a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1\Bigr)\;:\;\Bigl(1 - \frac{1}{1-a}\Bigr).\)
Введите текст
а) \[ x - \frac{4xy}{x+y} + y = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2 +2xy + y^2 -4xy}{x+y} = \frac{x^2 -2xy + y^2}{x+y} = \frac{(x-y)^2}{x+y}, \]
\[ x + \frac{4xy}{x-y} - y = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y} = \frac{x^2 -2xy + y^2 +4xy}{x-y} = \frac{x^2 +2xy + y^2}{x-y} = \frac{(x+y)^2}{x-y}, \]
\[ \bigl(\frac{(x-y)^2}{x+y}\bigr)\;\cdot\;\bigl(\frac{(x+y)^2}{x-y}\bigr) = \frac{(x-y)^2\,(x+y)^2}{(x+y)(x-y)} = x^2 - y^2. \]
б) \[ a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 = \frac{a(1-a) - (1-2a^2) + (1-a)}{1-a} = \frac{a - a^2 -1 +2a^2 +1 - a}{1-a} = \frac{a^2}{1-a}, \]
\[ 1 - \frac{1}{1-a} = \frac{1-a - 1}{1-a} = -\frac{a}{1-a}, \]
\[ \frac{a^2}{1-a} :\; \Bigl(-\frac{a}{1-a}\Bigr) = \frac{a^2}{1-a}\;\cdot\;\frac{1-a}{-a} = -a. \]
Пояснения:
При решении использованы следующие приёмы:
— Приведение суммы и разности дробей к общему знаменателю: \(\displaystyle \frac{A}{D} \pm \frac{B}{D} = \frac{A\pm B}{D}.\)
— Разложение квадратов разности и суммы: \(\displaystyle x^2\pm 2xy + y^2 = (x\pm y)^2.\)
— Деление на дробь равносильно умножению на обратную: \(\displaystyle \frac{P}{Q} : \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{S}{R}.\)
— Сокращение одинаковых множителей в дроби.
В пункте а) сначала преобразовали каждый множитель к квадрату суммы или разности, затем при умножении сократили один из множителей.
В пункте б) объединили члены под единым знаменателем, упростили числитель, потом разделили полученные дроби и сократили общий множитель.
Вернуться к содержанию учебника