Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что значение дроби не зависит от \(n\), где \(n\) — натуральное число:
а) \(\displaystyle \frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}\);
б) \(\displaystyle \frac{16^{n+1}-2^{n+4}}{4\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}\).
Вспомните:
а) \( \frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}=\)
\(= \frac{3^n\bigl(3^2-1\bigr)}{3^n\bigl(3^2+3+1\bigr)}=\)
\(= \frac{\cancel{3^n}\cdot8}{\cancel{3^n}\cdot13} = \frac{8}{13}\) - не зависит от \(n\).
б) \(\displaystyle \frac{16^{n+1}-2^{n+4}}{4\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{(2^4)^{n+1}-2^{n+4}}{2^2\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{4n+4} - 2^{n+4}}{2^{n+2}\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}\cancel{\bigl(2^{3n} - 1\bigr)}}{2^{n+2}\,\cancel{(2^{3n}-1)}}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}=2^{(n+4)-(n+2)}=\)
\(=2^{\cancel{n}+4-\cancel{n}-2}=2^2=4\) - не зависиn от \(n\).
Пояснения:
— В обоих случаях мы вынесли из числителя и знаменателя общий множитель, после чего дробь упростилась и получилось число без переменной.
— В пункте а) общий множитель — \(3^n\), а в скобках осталось \(8\) и \(13\).
— В пункте б) из числителя и знаменателя вынесли \(2^{n+2}(2^{3n}-1)\), что дало в результате степень \(2^2\).
— Полученные значения \(\tfrac{8}{13}\) и \(4\) не зависят от натурального \(n\).
При выполнении преобразований использовали свойства степени:
\(a^ma^n = a^{m+n}\);
\((a^m)^n = a^{mn}\);
\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
Вернуться к содержанию учебника