Вернуться к содержанию учебника
(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях \(a\), отличных от \(-2\) и \(2\), значение дроби \( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} \) является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение \(a\), отличное от \(-2\) и \(2\), и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
Вспомните:
\( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} \)
1. Если \(a=0\), то
\(\displaystyle \frac{0^2-4}{12+0-0} = \frac{-4}{12} = -\frac13 <0\);
Если \(a=1\), то
\(\displaystyle \frac{1-4}{12+1-1} = \frac{-3}{12} = -\frac14 <0\).
2. Чтобы понять знак для всех \(a\), нужно сократить дробь.
3. \( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} =\)
\(=\frac{a^2 - 4}{12 + 4a^2 - 3a^2 - a^4} =\)
\(=\frac{a^2 - 4}{4(3 + a^2) - a^2(3 + a^2)} =\)
\(=\frac{a^2 - 4}{(4 - a^2)(3 + a^2)} =\)
\(=\frac{a^2 - 4}{-(a^2-4)(3 + a^2)} =\)
\(=\frac{\cancel{a^2 - 4}}{-\,\cancel{(a^2 - 4)}(a^2 + 3)} = -\,\frac{1}{a^2 + 3}. \)
\(a^2 + 3 > 0\) для любого \(a\), тогда
\(-\,\frac{1}{a^2 + 3} < 0\) для любого \(a\).
Вывод: для всех \(a\), отличных от \(2\) и \(-2\) дробь \(\displaystyle \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) принимает отрицательное значение.
Пояснения:
— Числитель раскладывается по формуле разности квадратов:
\(a^2-4 = (a-2)(a+2)\).
— Знаменатель \(12 + a^2 - a^4\) с помощью группировки слагаемых и вынесением общего множителя за скобки приводится к разложению \(-\,(a^2-4)(a^2+3)\).
— Выполнив сокращение на одинаковый множитель, дробь сводится к виду \(-1/(a^2+3)\) и знаменатель положителен, значит, знак дроби — всегда отрицательный.
Вернуться к содержанию учебника