Упражнение 236 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 59

Приведём оба слагаемых к общему знаменателю \((a - b)(a + b)(x + y)= (a^2 - b^2)(x+y)\):

\[ \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} = \frac{(a x + b y)(a + b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}, \]

\[ \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)} = \frac{(b x - a y)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}. \]

Вычитание даёт

\[ \frac{(a x + b y)(a + b) \;-\; (b x - a y)(a - b)} {(a^2 - b^2)(x+y)}. \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ (a x + b y)(a + b) = a^2 x + a b x + a b y + b^2 y, \]

\[ (b x - a y)(a - b) = a b x - b^2 x - a^2 y + a b y. \]

Тогда числитель:

\[ a^2 x + a b x + a b y + b^2 y \;-\; \bigl(a b x - b^2 x - a^2 y + a b y\bigr) = a^2 x + b^2 x + a^2 y + b^2 y = (a^2 + b^2)(x+y). \]

Следовательно выражение равно

\[ \frac{(a^2 + b^2)(x+y)}{(a^2 - b^2)(x+y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \]

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Приведение дробей к общему знаменателю путём умножения на соответствующую «единицу» в виде дроби.

– Раскрытие скобок: умножение двучленов.

– Сложение и вычитание подобных членов в числителе.

– Сокращение множителя \((x+y)\), поскольку он не равен нулю при допустимых значениях.