Упражнение 232 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 58

а) Общий знаменатель \( (m+n)(m-n)=m^2-n^2\). Домножаем дроби: \[ \frac{mn+1}{m+n}=\frac{(mn+1)(m-n)}{m^2-n^2},\quad \frac{mn-1}{m-n}=\frac{(mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}. \] Раскрываем скобки: \[ (mn+1)(m-n)=m^2n - mn^2 + m - n, \] \[ (mn-1)(m+n)=m^2n + mn^2 - m - n. \] Складываем числители: \[ (m^2n - mn^2 + m - n)+(m^2n + mn^2 - m - n) =2m^2n -2n. \] Итог: \[ \frac{2m^2n -2n}{m^2-n^2} =\frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}. \]

б) Замечаем, что \(3a+3x=3(a+x)\), \(3a-3x=3(a-x)\). Общий знаменатель \(3(a+x)(a-x)=3(a^2-x^2)\). Домножаем дроби: \[ \frac{x+4a}{3(a+x)}=\frac{(x+4a)(a-x)}{3(a^2-x^2)},\quad \frac{a-4x}{3(a-x)}=\frac{(a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}. \] Раскрываем скобки: \[ (x+4a)(a-x)=4a^2 -3ax - x^2, \] \[ (a-4x)(a+x)=a^2 -3ax -4x^2. \] Вычитаем числители: \[ (4a^2 -3ax - x^2) - (a^2 -3ax -4x^2) =3a^2 +3x^2. \] Сокращаем общий множитель \(3\): \[ \frac{3(a^2+x^2)}{3(a^2-x^2)} =\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}. \]

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

– Приведение дробей к общему знаменателю путём домножения на «единицу» в виде дроби.

– Раскрытие скобок в числителе: перемножение двучленов.

– Сложение и вычитание одноимённых членов после раскрытия скобок.

– Вынос общего множителя за скобку для упрощения дроби.

В пункте а) сначала нашли общий знаменатель \(m^2-n^2\), домножили каждую дробь, раскрыли скобки в числителе, сложили полученные выражения и вынесли общий множитель \(2n\).

В пункте б) заметили множители \(3(a+x)\) и \(3(a-x)\), выбрали общий знаменатель \(3(a^2-x^2)\), домножили дроби, раскрыли скобки, вычли числители и сократили общий множитель \(3\).