Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\frac{2y^2 - y}{\,y^2 - y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{2y^2 + y}{\,y^2 + y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{1}{\,y^2 - \tfrac14\,};\)
б) \(\frac{6a}{2{,}5a^2 - 0{,}64}\;-\;\frac{8}{6a - 3{,}2}.\)
Введите текст
а) Обозначим \[ A=y-\tfrac12,\quad B=y+\tfrac12, \] тогда \[ y^2 - y + \tfrac14 = A^2,\quad y^2 + y + \tfrac14 = B^2,\quad y^2 - \tfrac14 = AB. \] Общий знаменатель: \(A^2B^2\). Приводим дроби: \[ \frac{2y^2 - y}{A^2} = \frac{(2y^2 - y)\,B^2}{A^2B^2},\quad \frac{2y^2 + y}{B^2} = \frac{(2y^2 + y)\,A^2}{A^2B^2},\quad \frac{1}{AB} = \frac{AB}{A^2B^2}. \] Числитель объединённой дроби: \[ N=(2y^2 - y)B^2 - (2y^2 + y)A^2 - AB. \] Подставляем \(A^2=y^2 - y +\tfrac14,\ B^2=y^2+y+\tfrac14,\ AB=y^2-\tfrac14\) и раскрываем: \[ N=2y^3 - \tfrac12y - y^2 + \tfrac14 =2y^3 - y^2 - \tfrac12y + \tfrac14. \] Факторизация: \[ 2y^3 - y^2 - \tfrac12y + \tfrac14 =2\bigl(y-\tfrac12\bigr)^2\bigl(y+\tfrac12\bigr). \] Тогда \[ \frac{N}{A^2B^2} =\frac{2A^2B}{A^2B^2} =\frac{2}{B} =\frac{2}{\,y+\tfrac12\,} =\frac{4}{2y+1}. \] Ответ для пункта а): \[ \boxed{\frac{4}{2y+1}}. \]
б) Сначала избавимся от десятичных дробей: \[ 2{,}5a^2 - 0{,}64 = \frac{5a^2}{2} - \frac{64}{100} = \frac{125a^2 - 32}{50},\quad 6a - 3{,}2 = \frac{30a - 16}{5}. \] Тогда \[ \frac{6a}{2{,}5a^2 - 0{,}64} = \frac{6a}{\frac{125a^2 - 32}{50}} = \frac{300a}{125a^2 - 32}, \] \[ \frac{8}{6a - 3{,}2} = \frac{8}{\frac{30a - 16}{5}} = \frac{40}{30a - 16} = \frac{20}{15a - 8}. \] Общий знаменатель: \((125a^2 - 32)(15a - 8)\). Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{300a(15a - 8) - 20(125a^2 - 32)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}. \] Раскрываем числитель: \[ 300a\cdot15a - 300a\cdot8 - 20\cdot125a^2 + 20\cdot32 =4500a^2 - 2400a - 2500a^2 + 640 =2000a^2 - 2400a + 640. \] Выносим общий множитель \(80\) и раскладываем квадратный трёхчлен: \[ 2000a^2 - 2400a + 640 =80\,(25a^2 - 30a + 8) =80\,(5a - 4)(5a - 2). \] Итак, итоговое упрощение: \[ \boxed{ \frac{80\,(5a - 4)(5a - 2)} {(125a^2 - 32)\,(15a - 8)} }. \]
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
— Приведение дробей к общему знаменателю.
— Замена десятичных дробей на обыкновенные для удобства вычислений.
— Раскрытие скобок и сложение/вычитание одноимённых членов в числителе.
— Факторизация многочленов: выделение общего множителя и разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.
В пункте а) мы заметили, что знаменатели являются полными квадратами \((y\pm\tfrac12)^2\), ввели новые переменные, привели все дроби к общему знаменателю и получили простую дробь \(\tfrac{4}{2y+1}\).
В пункте б) сначала перевели десятичные коэффициенты в дробные, затем привели дроби к общему знаменателю, раскрыли скобки в числителе и, наконец, вынесли и разложили на множители общий множитель \(80\).
Вернуться к содержанию учебника