Упражнение 202 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 55

Предположим

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\)

\(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}=\)

\(=\frac{a(x-2)}{(x + 4)(x-2)} + \frac{b(x+4)}{(x+4)(x - 2)}=\)

\(=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x + 4)(x-2)} =\)

\(=\frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)} \)

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)}\)

\(\begin{cases} a+b = 5,\\ 4b-2a = -1; \end{cases}\)

\(\begin{cases} a= 5-b,\\ 4b-2(5-b) = -1; \end{cases}\)

\(4b-2(5-b) = -1\)

\(4b-10+2b = -1\)

\(6b = -1+10\)

\(6b = 9\)

\(b=\frac{9}{6}\)

\(b=1,5\)

Тогда \(a = 5 - 1,5 =3,5\)

Следовательно,

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{3,5}{x + 4} + \frac{1,5}{x - 2}\)

---

Пояснения:

Использованные правила:

Для разложения на простейшие дроби представляют рациональную дробь как сумму дробей с неизвестными числителями, выполняют сложение дробей из правой части равенства. Приравнивают коэффициенты получившихся многочленов в числителях дробей.

Пояснения к шагам:

1. Выражение \(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\) представили в виде \(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\).

2. Выполнили сложение дробей в правой части уравнения.

3. Раскрыли в числителе скобки и собрали подобные члены, чтобы получить выражение вида \((a+b)x + (4b-2a)\).

4. Составили и решили систему уравнений по сравнению коэффициентов при \(x\) и свободных членов.

5. Получили \(a = 3,5\) и \(b = 1,5\), что и дало окончательное разложение.