Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(a\) и \(b\) равенство
\[\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}\]
является тождеством?
Вспомните:
\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}\)
\(\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}=\)
\(=\frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\)
\(\frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\)
\(=\frac{x(a+b)-(2a+b)}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)} =\frac{x(a+b)-(2a+b)}{(x-1)(x-2)} \)
\(\begin{cases} a + b = 6,\\ -(2a + b) = 0. \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 6-a,\\ -(2a + 6-a) = 0. \end{cases}\)
\(-(2a + 6-a) = 0\)
\(a + 6 = 0\)
\(a = -6\)
Тогда \(b = 6-a=6-(-6)=12\).
Ответ: \(a = -6;\) \(b =12\).
Пояснения:
Использованные правила:
Для тождественной дроби равенство должно выполняться при всех допустимых значениях \(x\).
Равенство многочленов требует равенства коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
Пояснения к шагам:
Сначала складываем дроби в правой части равенства, затем составляем систему уравнений по сравнению коэффициентов при \(x\) и свободных членов. Решив систему, находим \(a = -6\) и \(b = 12\), при которых исходное равенство тождественно верно.
Вернуться к содержанию учебника