Вернуться к содержанию учебника
Найдите все точки графика функции
\[\displaystyle y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}\]
с целочисленными координатами.
Вспомните:
\[\displaystyle y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}\]
Выполним деление многочленов:
| - | \(x^2\) | - | \(6x\)+ | \(1\) | \(x\) | - | \(3\) | ||
| \(x^2\) | - | \(3x\) | \(x\) | - | \(3\) | ||||
| - | - | \(3x\)+ | \(1\) | ||||||
| - | \(3x\)+ | \(9\) | |||||||
| - | \(8\) |
\[y =\frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3} = x - 3 + \frac{-8}{x - 3}.\]
Для того чтобы \(y\) было целым, должно быть целым \(\displaystyle \frac{-8}{x - 3}\). Значит, \(x - 3\) — делитель числа \(-8\).
Делители \(-8:\) \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\).
\(x - 3 = 1\):
\(x = 4,\;y = 1 - 8 = -7\) → \((4; -7)\).
\(x - 3= 2\):
\(x = 5,\;y = 2 - 4 = -2\) → \((5; -2)\).
\(x - 3= 4\):
\(x = 7,\;y = 4 - 2 = 2\) → \((7; 2)\).
\(x - 3 = 8\):
\(x = 11,\;y = 8 - 1 = 7\) → \((11; 7)\).
\(x - 3= -1\):
\(x = 2,\;y = -1 + 8 = 7\) → \((2; 7)\).
\(x - 3= -2\):
\(x = 1,\;y = -2 + 4 = 2\) → \((1; 2)\).
\(x - 3 = -4\):
\(x = -1,\;y = -4 + 2 = -2\) → \((-1; -2)\).
\(x - 3= -8\):
\(x = -5,\;y = -8 + 1 = -7\) → \((-5; -7)\).
Ответ: \((4; -7); (5; -2); (7; 2); (11; 7);\) \( (2; 7); (1; 2); (-1; -2); (-5; -7).\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Полиномиальное деление: выделили целую часть \(x-3\) и остаток \(-8\).
2. Дробь \(\frac{-8}{x-3}\) целая тогда и только тогда, когда \(x-3\) — делитель \(-8\).
3. Перечисление делителей числа и вычисление соответствующих значений \(x\) и \(y\).
Вернуться к содержанию учебника