Упражнение 199 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 51

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash{x+2}}} + \frac{b}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} \)

\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} \)

\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{ax+2a + bx-5b}{(x-5)(x+2)} \)

\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{(ax + bx) + (2a-5b)}{(x-5)(x+2)} \)

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{(a+b)\,x + (2a - 5b)}{(x-5)(x+2)} \)

Составим систему:

\( \begin{cases} a + b = 5,  \\ 2a - 5b = 31. \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 5 - b,  \\ 2(5-b) - 5b = 31. \end{cases} \)

\( 2(5 - b) - 5b = 31 \)

\( 10 - 2b - 5b = 31 \)

\( -7b = 31 - 10\)

\( -7b = 21 \)

\(b=-\frac{21}{7}\)

\(b = -3, \)

\(a = 5 - (-3) = 5+3 = 8\).

Проверка:

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8}{x-5}^{\color{blue}{\backslash{x+2}}} + \frac{-3}{x+2}^{\color{blue}{\backslash{x-5}}}\)

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8(x+2)-3(x-5))}{(x-5)(x+2)} \)

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8x+16 -3x+15}{(x-5)(x+2)}\)

\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}\)

Тождество доказано.

Ответ: \(a = 8,\; b = -3\).

---

Пояснения:

• Нужно привести сумму дробей в правой части равенства к общему знаменателю и выполнить сложение. Затем, учитывая то, что равенство будет верным, если в числителях коэффициенты при \(x\) и свободные коэффициенты будут равны, составляем систему линейных уравнений для \(a\) и \(b\).

• Решаем систему способом подстановки, находим единственные значения \(a\) и \(b\), при которых данное равенство является тождеством (при всех допустимых \(x\)).