Вернуться к содержанию учебника
Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) \(\displaystyle\bigl(n+\frac{1}{n}\bigr)^2\);
б) \(\displaystyle\bigl(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\bigr)^2\);
в) \(\displaystyle\bigl(\frac{x}{y}+1\bigr)^2 + \bigl(\frac{x}{y}-1\bigr)^2\);
г) \(\displaystyle\bigl(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\bigr)^2 - \bigl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\bigr)^2\).
Вспомните:
а) \( \bigl(n ^{\color{blue}{\backslash{n}}} +\frac{1}{n}\bigr)^2 =\bigl(\frac{n^2+1}{n}\bigr)^2=\)
\(=\frac{(n^2+1)^2}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1)^2}{n^2}.\)
б) \( \bigl(\frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} \bigr)^2 =\bigl(\frac{a^2-b^2}{ab} \bigr)^2 = \)
\(=\frac{(a^2-b^2)^2}{(ab)^2} = \frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}. \)
в) \( \bigl(\frac{x}{y}+1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 + \bigl(\frac{x}{y}-1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\frac{x+y}{y}\bigr)^2+\bigl(\frac{x-y}{y}\bigr)^2=\)
\(=\frac{(x+y)^2}{y^2}+\frac{(x-y)^2}{y^2}=\)
\(=\frac{x^2+\cancel{2xy}+y^2+x^2-\cancel{2xy}+y^2}{y^2}=\)
\(=\frac{2x^2+2y^2}{y^2}.\)
г) \( \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} +\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 =\)
\(= \bigl(\frac{p^2+q^2}{pq} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p^2-q^2}{pq} \bigr)^2=\)
\(= \frac{(p^2+q^2)^2}{(pq)^2} - \frac{(p^2-q^2)^2}{(pq)^2} =\)
\(= \frac{p^4+2p^2q^2+q^4-(p^4-2p^2q^2+q^4)}{(pq)^2}=\)
\(= \frac{\cancel{p^4}+2p^2q^2+\cancel{q^4}-\cancel{p^4}+2p^2q^2-\cancel{q^4}}{p^2q^2}=\)
\(= \frac{4\cancel{p^2q^2}}{\cancel{p^2q^2}}=4\)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Квадрат суммы двух выражений:
\(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
4) Квадрат разности двух выражений:
\(\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)
5) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
6) Свойства степени:
\( \bigl(\frac{a}{b}\bigr)^n = \frac{a^n}{b^n}\);
\(a^nb^n = (ab)^n\);
\((a^m)^n = a^{mn}\).
Вернуться к содержанию учебника