Упражнение 160 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 43

\( \frac{81}{\,(0{,}5b+9)^2 + (0{,}5b-9)^2\,} =\)

\(= \frac{81}{ 0{,}25b^2 +\cancel{9b} +81 + 0{,}25b^2 -\cancel{9b} +81 } =\)

\(= \frac{81}{0{,}5b^2 +162} =\frac{81}{0{,}5(b^2 +324)} =\)

\(=\frac{\cancel{810}  ^{162}}{\cancel{5}(b^2 +324)} =\frac{162}{b^2 +324} =\)

\(b^2 +324 > 0\) при любом \(b\).

Выражение принимает наибольшее значение при \(b = 0\):

\(\frac{162}{0^2 +324} =\frac{162}{324} = \frac{1}{2}\)

Ответ: при \(b = 0\) выражение принимает наибольшее значение, равное \(\frac12\).

Пояснения:

Сначала преобразовали знаменатель по формулам квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем в знаменателе привели подобные, вынесли общий множитель за скобки и сократили дробь на этот множитель.

Далее учли то, что дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе.

Знаменатель \(b^2+324 > 0\) при любом \(b\), поэтому это выражение будет минимально при \(b=0\), то есть наибольшее значение дроби будет при \(b=0\), которое равно \(\frac12\).