Вернуться к содержанию учебника
Докажите тождество:
а) \(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\biggr)=\frac{1}{q};\)
б) \(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{\,a-b\,}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2 - a b}{a^2 - b^2}.\)
Вспомните:
а) \(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\biggr)=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \biggr)=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{\cancel{p+q}}\cdot\frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{p-q}{pq}=\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{2p - \cancel{q}-p+\cancel{q}}{p q} =\frac{1}{q}\)
\(\displaystyle \frac{\cancel{p}}{\cancel{p} q} =\frac{1}{q}\)
\(\frac{1}{q}=\frac{1}{q}\)
Тождество доказано.
б) \(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} -\frac{\,a-b\,}{2(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\frac{b}{a-b}-\frac{b^2 - a b}{a^2 - b^2}\)
\(\displaystyle \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} +\frac{b(a- b)}{(a - b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+b)+b(a- b)}{(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2}-\cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{2(a-b)(a+b)}=\frac{ab+\cancel{b^2}+ab- \cancel{b^2}}{(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle \frac{^2\cancel4ab}{\cancel2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}\)
\(\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}\)
Тождество доказано.
Пояснения:
Для доказательства тождества нужно преобразовать левую и правую его части и получить одно и то же выражение.
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
3) Умножение дробей:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
7) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
Вернуться к содержанию учебника