Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \((a^2+2a+1)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\Bigr);\)
б) \(\Bigl(1-\frac{9x^2+4}{12x}\Bigr):\Bigl(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\Bigr)+1;\)
в) \(1-\Bigl(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a-\frac{3a+2}{4}\Bigr);\)
г) \((y^2-4)\Bigl(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\Bigr)+5.\)
Вспомните:
а) \((a^2+2a+1)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\Bigr)=\)
\(= (a+1)^2\cdot\Bigl(\frac{1}{a+1} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} +\frac{1}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a+1}}} \Bigr) =\)
\(=(a+1)^2\cdot \frac{(a-1)+1-(a+1)}{a-1)(a+1)}=\)
\(=(a+1)^2\cdot \frac{\cancel{a}-1+\cancel{1}-\cancel{a}-\cancel{1}}{(a-1)(a+1)}=\)
\(=(a+1)^2\cdot\frac{-1}{(a-1)(a+1)}=\)
\(=-\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{(a-1)\cancel{(a+1)}}=-\frac{a+1}{a-1}=\)
\(=\frac{a+1}{-(a-1)}=\frac{a+1}{1-a}.\)
б) \(\Bigl(1 ^{\color{blue}{\backslash{12x}}} -\frac{9x^2+4}{12x}\Bigr):\Bigl(\frac{1}{3x} ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash{3x}}} \Bigr)+1=\)
\(=\frac{12x-(9x^2+4)}{12x}:\frac{2-3x}{6x}+1=\)
\(=\frac{12x-9x^2-4}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)
\(=\frac{-(4-12x+9x^2)}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)
\(=-\frac{(2-3x)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)
\(=-\frac{(2-3x)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{6x}}{_2 \cancel{12x}\cdot\cancel{(2-3x)}}+1=\)
\(=-\frac{2-3x}{2}+1=\frac{3x-2}{2}+1 ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)
\(=\frac{3x-2+2}{2} =\frac{3x}{2}.\)
в) \(1-\Bigl(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a-\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)
\(=1-\Bigl(\frac{2}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} \Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a ^{\color{blue}{\backslash4}} -\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)
\(=1-\frac{2(a+2)-2(a-2)}{a^2-4}\cdot\frac{4a-(3a+2)}{4}=\)
\(=1-\frac{\cancel{2a}+4-\cancel{2a}+4}{a^2-4}\cdot\frac{4a-3a-2}{4}=\)
\(=1-\frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot \frac{a-2}{4}=\)
\(=1-\frac{^2\cancel{8}\cdot\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}(a+2)\cdot\cancel{4}}=\)
\(=1 ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2}=\)
\(=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2}.\)
г) \((y^2-4)\Bigl(\frac{3}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} -\frac{2}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} \Bigr)+5=\)
\(=(y^2-4)\cdot\frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}+5=\)
\(=(y^2-4)\cdot\frac{3y-6-2y-4}{y^2-4}+5=\)
\(=(y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5=\)
\(=\frac{\cancel{(y^2-4)}\cdot(y-10)}{\cancel{y^2-4}}+5=\)
\(=y-10+5=y-5.\)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
7) Квадрат суммы двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
9) Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Вернуться к содержанию учебника