Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x - 3} \;-\;\frac{4x - 9}{x - 3}\);
б) \(\displaystyle \frac{y^2 - 10}{y - 8} \;-\;\frac{54}{y - 8}\);
в) \(\displaystyle \frac{a^2}{a^2 - b^2} \;+\;\frac{b^2}{b^2 - a^2}\);
г) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} \;-\;\frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}\).
Вспомните:
а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3} =\)
\(=\frac{x^2 - 2x -4x +9}{x-3} =\)
\(=\frac{x^2 - 6x +9}{x-3} =\)
\(=\frac{(x-3)^{ \cancel 2}}{ \cancel {x-3}} = x - 3.\)
б) \(\displaystyle \frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8} =\)
\(=\frac{y^2 - 10 - 54}{y-8} = \frac{y^2 - 64}{y-8} =\)
\(\frac{ \cancel {(y-8)}(y+8)}{ \cancel {y-8}} = y + 8.\)
в) \(\displaystyle \frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2} =\)
\(=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2} =\)
\(= \frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1.\)
г) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2} =\)
\(=\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2} =\)
\(= \frac{x^2 - 2x +2y -y^2}{x^2 - y^2} =\)
\(= \frac{x^2 -y^2- 2x +2y}{x^2 - y^2} =\)
\(= \frac{(x -y)(x+y)- 2(x -y)}{x^2 - y^2} =\)
\(= \frac{\cancel{(x -y)}(x+y- 2)}{\cancel{(x - y)}(x+y)} =\)
\(= \frac{(x+y- 2)}{(x+y)} .\)
Пояснения:
Основные используемые правила и формулы:
1) Свойство сложения/вычитания дробей с одинаковым знаменателем: \[\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}.\]
2) Формула разности квадратов: \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).\]
а) Сначала привели две дроби к общему знаменателю \(x-3\), объединили числители: \[x^2 - 2x - (4x - 9) = x^2 - 2x - 4x + 9 = x^2 - 6x + 9.\] Затем заметили, что \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\), и сократили на \(x-3\).
б) Аналогично объединили дроби с общим знаменателем \(y-8\): \[y^2 - 10 - 54 = y^2 - 64,\] а \(y^2 - 64 = (y-8)(y+8)\), что даёт сокращение на \(y-8\).
в) Во второй дроби поменяли знак знаменателя \(b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)\): \[\frac{b^2}{b^2 - a^2} = -\frac{b^2}{a^2 - b^2}.\] После приведения к общему знаменателю получилось \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1\).
г) Во второй дроби также изменили знак: \(- \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}=+ \frac{2y - y^2}{ x^2-y^2}\)
Затем объединили с первой дробью: \(x^2 - 2x +2y -y^2\) над общим знаменателем \(x^2 - y^2\). Разложили числитель и знаменатель на множители: \((x -y)(x+y- 2)\) и \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Сократили на \(x-y.\)
Вернуться к содержанию учебника