Упражнение 223 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 57

Обозначим общее значение дробей через \(t\):

\[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = t.\]

Тогда

\[a = tb,\quad b = tc,\quad c = ta.\]

Перемножим все три равенства:

\[a\cdot b\cdot c = (t b)\,(t c)\,(t a) = t^3\,(a b c).\]

Поскольку \(a b c\neq0\) (иначе дроби не имели бы смысла), сокращаем на \(abc\):

\[1 = t^3 \;\Rightarrow\; t = 1\quad(\text{в действительных числах}).\]

Значит

\[\frac{a}{b} = 1,\;\frac{b}{c} = 1,\;\frac{c}{a} = 1\;\;\Longrightarrow\;\;a = b = c.\]

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Введение параметра \(t\) для обозначения общего значения дробей.

2. Представление каждого равенства в виде \(a = tb\), \(b = tc\), \(c = ta\).

3. Перемножение трёх равенств для получения уравнения \(t^3=1\).

4. Условие ненулевых переменных, позволяющее сократить на \(abc\).

5. Решение уравнения \(t^3=1\) в действительных числах даёт \(t=1\), что приводит к равенству \(a=b=c\).