Вернуться к содержанию учебника
Выполните сокращение дробей:
а) \(\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1};\)
б) \(\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}};\)
в) \(\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2};\)
г) \(\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}.\)
Вспомните:
а) \(\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}=\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7)^3 + 1}=\)
\(=\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)}=\)
\( = \frac{1}{b^7 + 1}; \)
б) \(\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}=\)
\(=\frac{(x^{11})^3 - 1}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}=\)
\(=\frac{(x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}=\)
\( =\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}; \)
в) \(\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}=\)
\(=\frac{xy - xz - yx + yz}{x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2)}=\)
\(=\frac{ - xz + yz}{xy^2 - 2xyz + xz^2-yx^2 + 2yxz - yz^2}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{xy^2 + xz^2-yx^2- yz^2}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{(xy^2 -yx^2)+ (xz^2- yz^2)}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{-xy(x-y)+z^2 (x- y)}=\)
\(=\frac{-(x - y)z}{-(x - y)(xy - z^2)} = \frac{z}{xy - z^2};\)
г) \(\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}=\)
\(=\frac{a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1)}{a + ab - ab - b}=\)
\(=\frac{ab^2 + 2ab + a-a^2b - 2ab -b}{a + ab - ab - b}=\)
\(=\frac{ab^2 + a-a^2b -b}{a - b}=\)
\(=\frac{(ab^2 -a^2b) + (a-b)}{a - b}=\)
\(=\frac{-ab(a-b) + (a-b)}{a-b}=\)
\(=\frac{(1-ab)(a-b)}{a-b}=1-ab.\)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
– Формула суммы/разности кубов: \(u^3 \pm v^3 = (u \pm v)(u^2 \mp uv + v^2)\).
– Вынос общего множителя и группировка одночленов.
– Сокращение общего множителя в числителе и знаменателе.
Комментарий к шагам:
а) Применили сумму кубов к \(b^{21}+1\), сократили общий множитель.
б) Сначала разложили числитель как разность кубов и знаменатель вынесли общий \(x^{11}\), затем сократили.
в) Раскрыли скобки, сгруппировали члены, вынесли общий множитель \((x - y)\) и сократили.
г) Раскладывание на множители показало общий множитель \((a - b)\), после чего выполнили сокращение.
Вернуться к содержанию учебника