Вернуться к содержанию учебника
Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) \(\frac{3x - 8}{25};\)
б) \(\frac{37}{2y + 7};\)
в) \(\frac{9}{x^2 - 7x};\)
г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8};\)
д) \(\frac{12}{\lvert x\rvert - 3};\)
е) \(\frac{45}{\lvert y\rvert + 2}.\)
Вспомните:
а) \(\frac{3x - 8}{25};\)
знаменатель \(25\neq0\) при любых \(x\).
Ответ: \(x\) - любое число.
б) \(\frac{37}{2y + 7};\)
\(2y+7\neq0\)
\(2y\neq-7\)
\(y\neq -\frac{7}{2}.\)
Ответ: \(y\) - любое число, кроме \(-\frac{7}{2}.\)
в) \(\frac{9}{x^2 - 7x};\)
\(x^2-7x\neq0\)
\(x(x-7)\neq0\)
\(x\neq0\) или \(x\neq7\)
Ответ: \(x\) - любое число, кроме 0 и 7.
г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8};\)
\(y^2+8>0\) при любом значении \(y\).
Ответ: \(y\) - любое число.
д) \(\frac{12}{\lvert x\rvert - 3};\)
\(\lvert x\rvert -3\neq0\)
\(\lvert x\rvert\neq3\)\
\(x\neq3\) или \(x\neq-3.\)
Ответ: \(x\) - любое число, кроме \(3\) и \(-3\).
е) \(\frac{45}{\lvert y\rvert + 2};\)
\(\lvert y\rvert +2>0\) при любом значении \(y\).
Ответ: \(y\) - любое число.
Пояснения:
1. В любой дроби запрещены значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.
2. Для линейного знаменателя \(ax+b\):
\(ax+b\neq0\) откуда \(x\neq-\frac{b}{a}\).
3. Для квадратного многочлена \(x^2-7x\) находим корни \(x=0\) и \(x=7\) и исключаем их.
4. Выражения вида \(y^2+8\) положительны при всех \(y\), поэтому дополнительных ограничений нет.
5. При абсолютных значениях \( \lvert x\rvert -3\neq0\) равносильно \(\lvert x\rvert\neq3\), значит \(x\neq\pm3\); а \(\lvert y\rvert+2\) всегда положительно.
Вернуться к содержанию учебника