Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle\Bigl(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\Bigr) :\frac{4m}{10m-5};\)
б) \(\displaystyle\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\Bigl(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\Bigr).\)
Вспомните:
a) \(\Bigl(\frac{2m+1}{2m-1} ^{\color{blue}{\backslash{2m+1}}} -\frac{2m-1}{2m+1} ^{\color{blue}{\backslash{2m-1}}} \Bigr) :\frac{4m}{10m-5}=\)
\(= \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5}=\)
\( = \frac{4m^2 + 4m + 1 - (4m^2 - 4m + 1)}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)
\( = \frac{\cancel{4m^2} + 4m + \cancel1 - \cancel{4m^2} + 4m - \cancel1}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)
\(=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{5(2m-1)} =\)
\(= \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot\; \frac{5(2m-1)}{4m} =\)
\( = \frac{^2\cancel{8m}\cdot5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)\cdot \cancel{4m}} =\)
\( = \frac{10}{2m+1}. \)
б) \( \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\biggl(\frac{x+3}{x-3} ^{\color{blue}{\backslash{x+3}}} + \frac{x-3}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} \biggr) =\)
\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} =\)
\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{x^2+\cancel{6x}+9 + x^2 -\cancel{6x}+9}{(x-3)(x+3)} =\)
\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)}= \)
\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \)
\(=\frac{\cancel{(x+3)}\cdot2\,\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}\cdot(x-3)\,\cancel{(x+3)}} =\)
\(=\frac{2}{x-3}. \)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы:
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\);
7) Квадрат разности:
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b=-(b-a)\).
9) Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Пояснения к пункту а):
1. Для разности дробей привели к общему знаменателю
\((2m-1)(2m+1)\).
2. Раскрыли квадраты и вычислили разность:
\( (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = 8m. \)
3. Разделили полученную дробь на \(\frac{4m}{10m-5}\) через умножение на обратную дробь.
4. Представили \(10m-5\) как
\(5(2m-1)\) для сокращения с
\((2m-1)\), затем сократили множители \(m\) и \((2m-1)\).
Пояснения к пункту б):
1. Внутри скобок привели дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\) и сложили числители.
2. Раскрыли квадраты, получив
\(2x^2 + 18\), вынесли общий множитель 2: \(2(x^2+9)\).
3. Умножили на внешнюю дробь
\(\frac{x+3}{x^2+9}\), затем сократили
\((x^2+9)\) и \((x+3)\).
Вернуться к содержанию учебника