Вернуться к содержанию учебника
Выполните действия:
а) \(\displaystyle \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\Bigl(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\Bigr);\)
б) \(\displaystyle \Bigl(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\Bigr)\;:\;\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\Bigl(\frac{6a+1}{a-3} ^{\color{blue}{\backslash{a+3}}} +\frac{6a-1}{a+3} ^{\color{blue}{\backslash{a-3}}} \Bigr)=\)
\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} =\)
\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6a^2+\cancel{18a}+\cancel{a}+3+6a^2-\cancel{18a}-\cancel{a}+3}{(a-3)(a+3)} =\)
\(= \frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{12a^2+6}{(a-3)(a+3)} =\)
\(=\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\cdot\;\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} =\)
\(=\frac{\cancel{(a^2-9)}\cdot6\cancel{(2a^2+1)}}{\cancel{(2a^2+1)}\cdot\cancel{(a^2-9)}} =6\)
б) \( \Bigl(\frac{5x+y}{x-5y} ^{\color{blue}{\backslash{x+5y}}} +\frac{5x-y}{x+5y} ^{\color{blue}{\backslash{x-5y}}} \Bigr):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=\)
\(=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)
\(=\frac{5x^2+\cancel{25xy}+\cancel{xy}+5y^2+5x^2-\cancel{25xy}-\cancel{xy}+5y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)
\(=\frac{10x^2+10y^2}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)
\(=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\)
\(=\frac{10\cancel{(x^2+y^2)}\cancel{(x^2-25y^2)}}{\cancel{(x^2-25y^2)}\cancel{(x^2+y^2)}}=10\)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
7) Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
А) Сначала свели две дроби к общему знаменателю, раскрыли произведения, сложили числители, вынесли общий множитель и сократили одинаковые множители.
Б) Аналогично: получили единый знаменатель, раскрыли скобки, сложили числители, вынесли общий множитель, а затем при делении на дробь сократили одинаковые множители.
Вернуться к содержанию учебника