Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{x^3+3x}{x+2} - \frac{3x^2-14x+16}{x^2-4} + 2x\) является положительным числом;
б) \(\displaystyle y + \frac{2y^2+3y+1}{y^2-1} - \frac{y^3+2y}{y-1}\) является отрицательным числом.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
Вспомните:
а) \(\frac{x^3+3x}{x+2} - \frac{3x^2-14x+16}{x^2-4} + 2x=\)
\(=\frac{x^3+3x}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} -\frac{3x^2-14x+16}{(x-2)(x+2)}+\frac{2x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x^2-4}}} =\)
\(=\frac{(x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} \)
\(=\frac{x^4-\cancel{2x^3}+\cancel{3x^2}-\cancel{6x}-\cancel{3x^2}+\cancel{14x}-16+\cancel{2x^3}-\cancel{8x}}{(x-2)(x+2)}= \)
\(=\frac{x^4-16}{(x-2)(x+2)} =\)
\(=\frac{\cancel{(x^2-4)}(x^2+4)}{\cancel{(x^2-4)}} =\)
\(=x^2+4>0\) при любых допустимых значениях \(x\). Что и требовалось доказать.
б) \(y + \frac{2y^2+3y+1}{y^2-1} - \frac{y^3+2y}{y-1}=\)
\(=\frac{y}{1} ^{\color{blue}{\backslash{y^2-1}}} +\frac{2y^2+3y+1}{(y-1)(y+1)}-\frac{y^3+2y}{y-1} ^{\color{blue}{\backslash{y+1}}} =\)
\(=\frac{y(y^2-1)+(2y^2+3y+1)-(y^3 + 2y)(y + 1)}{(y-1)(y+1)}=\)
\(=\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3 + 2y^2+2y)}{(y-1)(y+1)}=\)
\(=\frac{\cancel{y^3}-\cancel{y}+\cancel{2y^2}+\cancel{3y}+1-y^4-\cancel{y^3} - \cancel{2y^2}-\cancel{2y}}{(y-1)(y+1)}=\)
\(=\frac{-y^4+1}{(y-1)(y+1)} =-\frac{y^4-1}{(y-1)(y+1)} =\)
\(=-\frac{(y^2-1)(y^2+1)}{(y^2-1)} =-(y^2+1)<0\) при любых допустимых значениях \(y\).
Допустимые значения переменных:
а) \((x-2)(x+2) \neq0\)
\(x-2 \neq0\) и \(x+2\neq0\)
\(x \neq 2\) \(x \neq-2\)
Допустимые значения переменной \(x\):
все числа, кроме \(2\) и \(-2\).
б) \((y-1)(y+1) \neq0\)
\(y-1 \neq0\) и \(y+1\neq0\)
\(y \neq 1\) \(y \neq-1\)
Допустимые значения переменной \(y\):
все числа, кроме \(1\) и \(-1\).
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем формулу разности квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:
- противоположны выражения:
\(a-b = -(b-a)\);
- умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
- умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
a) Учитываем то, что квадрат любого числа является неотрицательным числом, поэтому \(x^2+4>0\) и значение исходного выражения является положительным числом.
б) Из того, что \((y^2+1)>0\), противоположное выражение
\(-(y^2+1)<0\) и значение исходного выражения является отрицательным числом.
5) Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель отличен от нуля, поэтому из допустимых значений переменных в рассматриваемых случаях исключаем те значения, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Вернуться к содержанию учебника