Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что тождественно равны выражения:
а) \(\displaystyle \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}\) и \(\displaystyle a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a};\)
б) \(\displaystyle \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2}\) и \(a - 1.\)
Вспомните:
а) \(\ \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}= a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}\)
Левая часть:
\(\displaystyle \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}=\)
\(= \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3}^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)
\(=\ \frac{3 + a^3}{a(a-3)}. \)
Правая часть:
\( a + 3 + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)
\(=\frac{a + 3}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a(a-3)}}} + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)
\(=\frac{a(a+3)(a-3)+(9a+3)}{a(a-3)} =\)
\(=\frac{a(a^2-9) + 9a + 3}{a(a-3)}= \)
\(=\frac{a^3-\cancel{9a} +\cancel{9a} + 3}{a(a-3)}= \)
\( = \frac{a^3 + 3}{a(a-3)}=\frac{3+a^3}{a(a-3)}.\)
Что и требовалось доказать.
б) \( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} = a - 1.\)
Левая часть:
\( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} =\)
\(= \frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} - \frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} =\)
\(=\frac{a^3 -a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\)
\(=\frac{a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)
\(=\frac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)
\(=\frac{a^2(a - 1) - 4(a - 1)}{(a-2)(a+2)}=\)
\(=\frac{(a - 1)\cancel{(a^2 - 4)}}{\cancel{(a^2-4)}}=a-1\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
1) Для доказательства того, что рассматриваемые выражения тождественно равны, нужно преобразовать каждое из выражений, в результате чего должен получится одинаковый результат.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
4) В пункте б) в числителе также применили способ группировки для разложения на множители и сократили полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника