Вернуться к содержанию учебника
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\displaystyle \frac{2a+b}{2a^2-ab} \;-\;\frac{16a}{4a^2-b^2}\;+\;\frac{2a-b}{2a^2+ab};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{(a-3)^2} \;-\;\frac{2}{a^2-9}\;+\;\frac{1}{(a+3)^2};\)
в) \(\displaystyle \frac{x-2}{x^2+2x+4}\;-\;\frac{6x}{x^3-8}\;+\;\frac{1}{x-2};\)
г) \(\displaystyle \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}\;-\;\frac{1-2a}{a^2+a+1}\;-\;\frac{3}{a-1}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{2a+b}{2a^2-ab} - \frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}=\)
\( =\frac{2a+b}{a(2a - b)} ^{\color{blue}{\backslash{2a+b}}} - \frac{16a}{(2a - b)(2a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{2a-b}{a(2a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{2a-b}}} =\)
\(= \frac{(2a+b)^2 -16a^2 - (2a-b)^2 }{a(2a-b)(2a+b)} =\)
\(= \frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-(4a^2-4ab+b^2)}{a(2a-b)(2a+b)} =\)
\(= \frac{\cancel{4a^2}+4ab+\cancel{b^2}-16a^2-\cancel{4a^2}+4ab-\cancel{b^2}}{a(2a-b)(2a+b)} =\)
\(= \frac{-16a^2+8ab}{a(2a-b)(2a+b)} = \)
\(= \frac{-8\cancel{a}\cancel{(2a-b)}}{\cancel{a}\cancel{(2a-b)}(2a+b)} =-\,\frac{8}{2a+b}. \)
б) \(\displaystyle \frac{1}{(a-3)^2} -\frac{2}{a^2-9} +\frac{1}{(a+3)^2}=\)
\(=\displaystyle \frac{1}{(a-3)^2} ^{\color{blue}{\backslash{(a+3)^2}}} - \frac{2}{(a-3)(a+3)} ^{\color{blue}{\backslash(a-3)(a+3)}} +\frac{1}{(a+3)^2} ^{\color{blue}{\backslash(a-3)^2}} =\)
\(= \frac{(a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)
\(= \frac{a^2+6a+9-2(a^2-9)+(a^2-6a+9)}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)
\(= \frac{\cancel{a^2}+\cancel{6a}+9-\cancel{2a^2}+18+\cancel{a^2}-\cancel{6a}+9}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)
\(= \frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2}= \frac{36}{(a^2-9)^2}\)
в) \( \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac{1}{x-2}=\)
\(=\frac{x-2}{x^2+2x+4} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} -\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash{x^2+2x+4}}} =\)
\(=\frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)
\(=\frac{x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)
\(=\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)
\(=\frac{2(x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)
\(=\frac{2(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2)}(x^2+2x+4)}=\)
\(=\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\)
г) \( \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{3}{a-1}=\)
\( =\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1-2a}{a^2+a+1} ^{\color{blue}{\backslash{}a-1}} -\frac{3}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a^2+a+1}}} =\)
\( =\frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)
\( =\frac{2a^2+7a+3 - (a-1-2a^2+2a)-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)
\( =\frac{2a^2+7a+3 - a+1+2a^2-2a-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)
\( =\frac{\cancel{a^2+a+1}}{(a-1)\cancel{(a^2+a+1)}}=\frac{1}{a-1}.\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\);
- разность кубов двух выражений:
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^3)\);
- свойства степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\);
\((a^m)^n = a^{mn}\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:
- квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
- противоположны выражения:
\(a-b = -(b-a)\);
- умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника