Упражнение 410 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

\( \sqrt{a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)

\( \Bigl(\sqrt{a + \frac{a}{b}}\Bigr)^2 = \Bigl(a\sqrt{\frac{a}{b}}\Bigr)^2\)

\( a + \frac{a}{b} = a^{2}\cdot\frac{a}{b} \)

\( a + \frac{a}{b}= \frac{a^{3}}{b} \)       /\(\times{b}\)

\( a\,b + a = a^{3} \)

\(a(b+1) = a^{3} \)   / \( : a\)

\( b + 1 = a^{2} \)

\(b = a^{2} - 1. \)

Вывод:

Если \(b = a^{2} - 1\), то

\(\sqrt{\,a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Примеры:

1) \( \sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\( \sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(a=2\), тогда

\(b = 2^{2}-1 =4-1= 3\).

\(\sqrt{2+\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} =\sqrt{4\cdot\frac{2}{3}}=\)

\(=\sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}.\)

2) \(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)

\(\sqrt{3+\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)

 \(a=3\), тогда

\(b = 3^{2}-1 =9-1= 8\)

\(\sqrt{3+\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9\cdot\frac{3}{8}}= \)

\(=\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}.\)

3) \(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}} \)

\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}. \)

\(a=4\), тогда

\(b = 4^{2}-1 =16 - 1= 15\)

\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16\cdot\frac{4}{15}} =\)

\(=\sqrt{16}\cdot\sqrt{\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}.\)

---

Пояснения:

Использованные приемы:

- Запись смешанного числа:

\(a + \frac{b}{c} = a\frac{b}{c} \).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

- Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).