Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{a^3-x^3}{x^2-1}\);
б) \(\displaystyle \frac{ap^2-9a}{p^3-8} : \frac{p+3}{2p-4}.\)
Вспомните:
а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{a^3-x^3}{x^2-1} =\)
\(=\displaystyle \frac{a^2+ax+x^2}{x-1} : \frac{(a-x)(a^2+ax+x^2)}{(x-1)(x+1)} =\)
\(=\frac{a^2+ax+x^2}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} =\)
\(=\frac{\cancel{(a^2+ax+x^2)}\cdot\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}\cdot(a-x)\cancel{(a^2+ax+x^2)}}=\)
\(=\frac{x+1}{a-x}.\)
б) \(\displaystyle \frac{ap^2-9a}{p^3-8} : \frac{p+3}{2p-4} =\)
\(=\displaystyle \frac{a(p^2-9)}{(p-2)(p^2+2p+4)} : \frac{p+3}{2(p-2)} =\)
\(=\frac{a(p-3)(p+3)}{(p-2)(p^2+2p+4)} \cdot \frac{2(p-2)}{p+3} =\)
\(=\frac{a(p-3)\cancel{(p+3)}\cdot2\cancel{(p-2)}}{\cancel{(p-2)}(p^2+2p+4)\cdot\cancel{(p+3)}} =\)
\(=\frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}.\)
Пояснения:
Правила, использованные в решении:
– Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
– Разложение на множители:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ka+kb=k(a+b)\);
- разность кубов двух выражений:
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
В каждом пункте сначала разложили числитель и знаменатель на множители по указанным выше формулам, перешли от деления к умножению и сократили общие множители числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника