Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
a) \(\displaystyle \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{x - a};\)
б) \(\displaystyle \frac{b^2 - 4b y}{2y^2 - b y} - \frac{4y}{b - 2y}.\)
Вспомните:
a) \( \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{x - a} =\)
\(= \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{-(a-x)} =\)
\(=\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)
\(=\frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} = \frac{\cancel{(a - x)}(a + x)}{x\cancel{(a - x)}} =\)
\(=\frac{a + x}{x}.\)
б) \( \frac{b^2 - 4b y}{2y^2 - b y} - \frac{4y}{b - 2y} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} - \frac{4y}{-(2y-b)} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} + \frac{4y}{(2y-b)} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y + 4y^2}{y(b - 2y)} =\)
\(=\frac{(b - 2y)^{\cancel{2}}}{y\cancel{(b - 2y)}} = \frac{2y - b}{y}.\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
3) Вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
4) Противоположные выражения:
\(a-b=-(b-a)\).
5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
6) Далее, если возможно раскладываем на множители числитель полученной дроби:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\);
- свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
7) Сокращаем числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.
Вернуться к содержанию учебника